The combinatorics of frieze patterns and Markoff numbers

This article, based on joint work with Gabriel Carroll, Andy Itsara, Ian Le, Gregg Musiker, Gregory Price, Dylan Thurston, and Rui Viana, presents a combinatorial model based on perfect matchings that explains the symmetries of the numerical arrays that Conway and Coxeter dubbed frieze patterns. This matchings model is a combinatorial interpretation of Fomin and Zelevinsky’s cluster algebras of type A. One can derive from the matchings model an enumerative meaning for the Markoff numbers, and prove that the associated Laurent polynomials have positive coefficients as was conjectured (much more generally) by Fomin and Zelevinsky. Most of this research was conducted under the auspices of REACH (Research Experiences in Algebraic Combinatorics at Harvard). RÉSUMÉ. Cet article, basé sur un travail conjoint avec Gabriel Carroll, Andy Itsara, Ian Le, Gregg Musiker, Gregory Price, Dylan Thurston, et Rui Viana presente un modèle combinatoire expliquant les symétries dans les tableaux numérique appelés motifs frieze par Conway et Coxeter. Ce modèle, basé sur les couplages parfaits, donne une interprétation combinatoire des algèbre de cluster de type A de Fomin et Zelevinksy. Ce modèle permet de fournir une interprétation énumérative des nombres Markoff, et on peut démontrer que les polynômes de Laurent associés ont des coefficients positifs, ce qui avait été conjecturé (dans un cadre plus général) par Fomin et Zelevinsky. Cette recherche s’est déroulée dans le cadre du programme REACH (Research Experiences in Algebraic Combinatorics at Harvard).